數理科學是大自然的基礎語言，很早就被人運用到建筑設計的領域中。主要用于生成各種不同的建筑形式。

歐幾里得幾何由于便于測量與建造，是人類營造中最為古老的幾何學應用。但是，隨著人類對空間維度的思考，又發展了其他的幾何學理論，并且對建筑設計的創新發展起到了很大的促進作用。

維數是幾何對象的一個重要特征量，它是幾何對象中一個點的位置所需的獨立坐標數目，但通常人們習慣于整數的維數。在歐氏空間中，人們習慣把點認為是零維的，直線或曲線看成一維，空間看成三維的。其實，稍加推廣，還可以引入分維、高維空間，以便于研究更抽象或更復雜的對象，只要每個局部可以和歐氏空間對應即可。

葉狀結構：就是將曲面分解成一簇曲線，每根曲線被稱為是一片葉子，葉子層疊在一起構成原來曲面。這樣，扎哈的很多作品都可以用這個幾何邏輯去分析，加深人們對于建筑的理解與分析。

北京大興國際機場

以扎哈的北京大興國際機場為例。如果我們從空中鳥瞰大興機場的棚頂結構，會覺得有點兒酷似六芒星的結構。但是，如果我們對它的曲面進行劃分，可以發現，這座建筑也是由“葉狀結構”所形成的。實際上看它內部的鋼架結構，里面由兩簇彼此垂直的曲線結構組成，結構中間存在一個穩定的奇異點。

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羅氏幾何

羅巴切夫斯基幾何，也稱雙曲幾何。與歐氏幾何最主要的區別在于公理體系中采用了不同的平行公理（過直線之外一點有唯一的一條直線和已知直線平行”被代替為“雙曲平行公理”即“過直線之外的一點至少有兩條直線和已知直線平行”）。

雙曲拋物面是羅氏幾何的一個重要模型。每個面上都有兩條拋物線，形成的結構既能抗壓也能抗拉。又因形狀酷似馬鞍，也被稱作“馬鞍面”。它的重要特征——直紋曲面，即它可看成由兩族直線構成。這個特點為后期施工帶來極大的便利性。（我們常吃的某些薯片就是馬鞍面哦）

 

在建筑上，將馬鞍面運用到極致的是菲利克斯·坎德拉。同時，他也是混凝土薄殼大師。由“馬鞍面”所形成的飄逸的屋面，在他的建筑作品中成為了典型標簽。從1個、3個到多個都建了一遍。

1個馬鞍面——帕爾米拉教堂

3個馬鞍面——圣維特生·得·保羅教堂

三塊馬鞍面殼靠在一起，中間通過鋼桁架相連，形成透明光帶，像森林里的一頂白帽子。

4個馬鞍面——霍奇米洛克餐廳

多個馬鞍面——Bacardí 瓶裝廠

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分形幾何

分形幾何主要研究無限復雜具備自相似結構的不規則幾何形態，被認為是連接人造物與大自然的重要幾何學。被廣泛地應用在設計領域中。分形是指局部與整體在形態、功能、信息、時間、空間等方面具有統計意義上的相似性，即具有自相似性。（分形一詞是由芒德勃羅（B.B.Mandelbrot），與1973年在法蘭西學院講課時首次提出。）在數學的角度，分形理論將維數從整數擴大到分數，從而突破了一般拓撲集維數為整數的界限。

分形幾何在建筑設計中主要體現在兩方面：一方面，注重建筑自身局部與整體，建筑與環境之間的關系；另一方面，分形幾何的自相似性也是復雜非線性的空間的重要表達方式。

于成慶美術館

于成慶美術館是分形幾何與建筑設計結合的典型案例。泥塑大師結合“捏泥巴”進行設計構思，以此展開設計。以“龜裂紋”形式表達建筑的局部與整體之間的關系，在無序的形式中包含著簡單的分形規律。表皮紋理與表皮之間、表皮與不規則體塊之間，不規則體塊與大自然之間，逐級形成一種自相似性，實現建筑與環境之間的良好融合。

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拓撲幾何

拓撲幾何的發現為研究地形地貌、生成自由的建筑空間與形式拓展了新的維度。拓撲幾何主要研究它的的不變性，也就是“拓撲等價”。比如，圓、方形和三角形在拓撲變換的條件下，它們都是等價圖形。一般地說，對于任意形狀的閉曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的變換就是拓撲變換，就存在拓撲等價。

從建筑設計的角度來看，拓撲幾何的運用，使得圍合空間的界面可以在拓撲等價的條件下隨意發生變化，從而創造出自由而靈動的非線性建筑。然而，想要提高拓撲的復雜度，就要在上面“開洞”（專業術語叫“虧格”）。

在此基礎上再做突破，就會涉及到拓撲優化的概念。簡單來講，拓撲優化就是從力學的角度，研究如何在物體上優雅“開洞”。在滿足力學性能的前提下，在力學上的無效或低效區域刪去材料（開洞），在需要材料的區域增加材料（填洞），最終結構將趨于優化。

磯崎新的團隊所設計的卡塔爾國際會議中心和上海喜馬拉雅中心的公共空間，將“拓撲優化”做了很好的詮釋。不僅滿足建筑的功能需求、結構的力學性能，而且結合建筑的審美，形成了極具震撼力的建筑。

卡塔爾國際會議中心

將長達250m的入口支撐結構，運用拓撲優化的邏輯，設計成為類似“樹干狀”的有機形態。壯觀的立面形如兩棵相互交纏的大樹，樹干向上攀升，支撐著建筑的屋頂。

上海喜馬拉雅中心

磯崎新于上海喜馬拉雅中心的公共空間設計中也運用了拓撲優化技術，形成的結構線巨型的樹干，營造出生生不息、自然生長的林木形態空間。仿佛將公共空間置于人工造就的自然之林。

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